Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 + 0 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 7$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) ((6 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Espandi $(6 - λ) (3 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.2

Sottrai $3 λ$ da $- 6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Moltiplica $0$ per $8$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.2

Somma $18 - 9 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.3

Sposta $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.4

Riordina $- 9 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Combina i termini opposti in $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.1

Somma $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.1.2

Somma $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2

Espandi $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 9 λ) + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.7

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.4

Somma $2 λ^{2}$ e $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.5

Sottrai $18 λ$ da $- 18 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.6

Sposta $36$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ - λ^{3} + 36) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.7

Sposta $- 36 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - λ^{3} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.8

Riordina $11 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Combina i termini opposti in $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Somma $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.6.1.2

Somma $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$

Passaggio 5.6.2

Espandi $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.2

Moltiplica $11$ per $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.3

Moltiplica $- 36$ per $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.4

Moltiplica $3$ per $36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ \cdot λ^{2} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{2 + 1} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.11

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ \cdot λ - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 (λ \cdot λ) - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Passaggio 5.6.3.15

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Passaggio 5.6.4

Sottrai $11 λ^{3}$ da $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Passaggio 5.6.5

Somma $33 λ^{2}$ e $36 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 36 λ$

Passaggio 5.6.6

Sottrai $36 λ$ da $- 108 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 + λ^{4}$

Passaggio 5.6.7

Sposta $108$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + λ^{4} + 108$

Passaggio 5.6.8

Sposta $- 144 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} + λ^{4} - 144 λ + 108$

Passaggio 5.6.9

Sposta $69 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + λ^{4} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Passaggio 5.6.10

Riordina $- 14 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{4} - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 14 \cdot 8 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $- 14$ per $8$ .

$16 - 112 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.5

Sottrai $112$ da $16$ .

$- 96 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 96 + 69 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $69$ per $4$ .

$- 96 + 276 - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.8

Somma $- 96$ e $276$ .

$180 - 144 \cdot 2 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.9

Moltiplica $- 144$ per $2$ .

$180 - 288 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.10

Sottrai $288$ da $180$ .

$- 108 + 108$

Passaggio 7.1.1.3.11

Somma $- 108$ e $108$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108}{λ - 2}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ per $λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 λ^{3} + 24 λ^{2}$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $45 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $45 λ^{2} - 90 λ$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

Passaggio 7.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Passaggio 7.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 54 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Passaggio 7.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Passaggio 7.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 54 λ + 108$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Passaggio 7.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

$0$

Passaggio 7.1.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) (λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Passaggio 7.1.2.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 12 \cdot 9 + 45 \cdot 3 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.4

Moltiplica $- 12$ per $9$ .

$27 - 108 + 45 \cdot 3 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.5

Sottrai $108$ da $27$ .

$- 81 + 45 \cdot 3 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.6

Moltiplica $45$ per $3$ .

$- 81 + 135 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.7

Somma $- 81$ e $135$ .

$54 - 54$

Passaggio 7.1.2.3.8

Sottrai $54$ da $54$ .

$0$

Passaggio 7.1.2.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54}{λ - 3}$

Passaggio 7.1.2.5

Dividi $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ per $λ - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

Passaggio 7.1.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$

Passaggio 7.1.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{3} - 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Passaggio 7.1.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Passaggio 7.1.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					-	$9 λ^{2}$	+	$27 λ$

Passaggio 7.1.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 λ^{2} + 27 λ$

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$

Passaggio 7.1.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$

Passaggio 7.1.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Passaggio 7.1.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Passaggio 7.1.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							+	$18 λ$	-	$54$

Passaggio 7.1.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 λ - 54$

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$

Passaggio 7.1.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$
										$0$

Passaggio 7.1.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{2} - 9 λ + 18$

Passaggio 7.1.2.6

Scrivi $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ^{2} - 9 λ + 18)) = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $λ^{2} - 9 λ + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Scomponi $λ^{2} - 9 λ + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 6, - 3$

Passaggio 7.1.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(λ - 2) ((λ - 3) ((λ - 6) (λ - 3))) = 0$

Passaggio 7.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 6) (λ - 3)) = 0$

Passaggio 7.1.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1.1

Eleva $λ - 3$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Passaggio 7.1.4.1.2

Eleva $λ - 3$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Passaggio 7.1.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{1 + 1} (λ - 6)) = 0$

Passaggio 7.1.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{2} (λ - 6)) = 0$

Passaggio 7.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ - 6 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $λ - 2$ uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 2$

Passaggio 7.4

Imposta ${(λ - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta ${(λ - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi ${(λ - 3)}^{2} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Poni $λ - 3$ uguale a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 3$

Passaggio 7.5

Imposta $λ - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Imposta $λ - 6$ uguale a $0$ .

$λ - 6 = 0$

Passaggio 7.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 6$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$ vera.

$λ = 2, 3, 6$